Question

20．若x．y为正实数，且2x+8y-xy=-1，求x+y的最小值．

Answer 1

分析 由题意化简可得y=$\frac{2x+1}{x-8}$，从而化简x+$\frac{2x+1}{x-8}$=x+$\frac{17}{x-8}$+2=（x-8）+$\frac{17}{x-8}$+10，从而利用基本不等式求最小值即可．

解答 解：∵2x+8y-xy=-1，x＞0，y＞0，
∴y（x-8）=2x+1，
∴x＞8，
故y=$\frac{2x+1}{x-8}$，
故x+$\frac{2x+1}{x-8}$=x+$\frac{17}{x-8}$+2=（x-8）+$\frac{17}{x-8}$+10≥10+2$\sqrt{17}$，
（当且仅当x-8=$\frac{17}{x-8}$，即x=8+$\sqrt{17}$时，等号成立），
故x+y的最小值为10+2$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了方程与函数的关系应用及基本不等式的应用，属于基础题．