Question

11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（-x）=-f（x），其导函数为y=f′（x），当x＞0时，xf′（x）＜f（x），若$a=2f（\frac{1}{2}），b=-\frac{1}{2}f（-2），c=-\frac{1}{ln2}f（ln\frac{1}{2}）$，则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜c＜a
• C． b＜a＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．
∵函数f（x）为奇函数，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是偶函数，
$a=2f（\frac{1}{2}），b=-\frac{1}{2}f（-2），c=-\frac{1}{ln2}f（ln\frac{1}{2}）$，
即a=g（$\frac{1}{2}$），b=g（-2）=g（2），c=g（ln$\frac{1}{2}$）=g（ln2），
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（$\frac{1}{2}$）＞g（ln$\frac{1}{2}$）＞g（2），
∴a＞c＞b，
故选：B．

点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，属于中档题．