Question

1．若函数f（x）=kx-e^x有零点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． k＜0
• B． k≥e
• C． k≥e或k＜0
• D． 0＜k≤e

Answer 1

分析 原题等价于函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，求导函数可得函数的单调性，可得值域，可得答案．

解答 解：当x=0时，可得f（0）=-1，故x=0不是函数的零点；
当x≠0时，由函数f（x）=kx-e^x有零点可得kx=e^x有解，
即k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，故k的取值范围为函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，
∵y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令y′＜0可得x＜1，故函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
故当x＜0时，函数值g（x）＜0，
当x＞0时，g（1）为函数的最小值，且g（1）=e，故g（x）≥e，
综上可得g（x）的取值范围为g（x）＜0或g（x）≥e，
故k的取值范围为：k＜0或k≥e．
故选：C．

点评 本题考查函数零点的判断，转化为函数的值域是解决问题的关键，属中档题．