Question

17．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，点$（{\sqrt{3}，0}）$是双曲线的一个顶点
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线的右焦点F₂作斜率为1的直线l与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=$\sqrt{3}$，利用离心率公式计算c，得出b，即可得出双曲线方程；
（2）求出右焦点坐标，得出直线l的方程，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，利用弦长公式计算|AB|．

解答 解：（1）∵双曲线的一个顶点为（$\sqrt{3}$，0），离心率为$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=3，∴b²=c²-a²=6．
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（2）双曲线的右焦点为F₂（3，0）．
∴直线l的方程为y=x-3．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，消元得x²+6x-15=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-6，x₁x₂=-15．
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{36+60}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，弦长公式的应用，属于中档题．