Question

7．如图，棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C₁到平面α的距离的最大值是（　　）

• A． 2（2+$\sqrt{2}$）
• B． 2（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）
• C． 2（$\sqrt{3}$+1）
• D． 2（$\sqrt{2}$+1）

Answer 1

分析 如图所示，O在AC上，C₁O⊥α，垂足为E，则C₁E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4$\sqrt{2}$-x，由此可得顶点C₁到平面α的距离的最大值．

解答 解：如图所示，AC的中点为O，C₁O⊥α，
垂足为E，则C₁E为所求，∠AOE=30°
由题意，设CO=x，则AO=4$\sqrt{2}$-x，
C₁O=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，OE=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
∴C₁E=$\sqrt{16+{x}^{2}}$+2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
令y=$\sqrt{16+{x}^{2}}$+2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$x，
则y′=$\frac{x}{\sqrt{16+{x}^{2}}}$-$\frac{1}{2}$=0，可得x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，顶点C₁到平面α的距离的最大值是2（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查顶点C₁到平面α的距离的最大值，考查学生的计算能力，正确作图是关键．