Question

16．已知等差数列{a_n}首项是1公差不为0，S_n为的前n和，且S₂²=S₁•S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质可得：${a_1}（{4{a_1}+6d}）={（{2{a_1}+d}）^2}$，即$2{a_1}d={d^2}$，由a₁=1，d≠0，求得d，根据等差数列通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由已知，得 ${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，即${a_1}（{4{a_1}+6d}）={（{2{a_1}+d}）^2}$，
∴$2{a_1}d={d^2}$，
又由a₁=1，d≠0，
∴d=2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]=\frac{n}{2n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．