Question

15．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x-2x+c（c为常数），若x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的范围．

Answer 1

分析 求出函数g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，求出g（x）的最大值，得到关于c的不等式，解出即可、

解答 解：令$g（x）={x^3}-\frac{1}{2}x-2x$，
原命题等价于g（x）＜c²-c在x∈[-1，2]上恒成立；
有${[g（x）]_{max}}＜{c^2}-c$，
求导得：g′（x）=（x-1）（3x+2）列表表如下：

x	-1	$（-1，-\frac{2}{3}）$	$-\frac{2}{3}$	$（-\frac{2}{3}，1）$	1	（1，2）	2
g（x）	$\frac{1}{2}$	↗	$\frac{22}{27}$	↘	$-\frac{3}{2}$	↗	2

由表知函数f（x）在x∈[-1，2]上的最大值为2，因此，2＜c²-c，
解得：c∈（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．