Question

5．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为$\frac{π}{6}$．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；
（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABC，
∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即$∠PBA=\frac{π}{6}$，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴$PA=2\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PA=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•{6^2}•2\sqrt{3}=18$．           
（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，
∵M，N分别是棱BC，AC的中点，
∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．    
∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，
又$MN=\frac{1}{2}AB=3$，AN=$\frac{1}{2}$AC=3，BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，$PN=\sqrt{P{A^2}+A{N^2}}=\sqrt{21}$，$PM=\sqrt{P{A^2}+A{M^2}}=\sqrt{39}$，
所以$cos∠PMN=\frac{{M{P^2}+M{N^2}-P{N^2}}}{2MP•MN}=\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$，
故异面直线PM与AB所成的角为$arccos\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，空间角的计算，属于中档题．