Question

2．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S． 
①当$0＜CQ＜\frac{1}{2}$时，S为四边形
②截面在底面上投影面积恒为定值$\frac{3}{4}$
③不存在某个位置，使得截面S与平面A₁BD垂直 
④当$CQ=\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点满足C₁R₁=$\frac{1}{3}$
其中正确命题的个数为   （　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 1对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．

解答 解：设截面与DD₁相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
对于①，当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；
对于②，当CQ＞$\frac{1}{2}$时，投影面积不为$\frac{3}{4}$，故②不正确；
对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A₁BD垂直，故③正确；
对于④，当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正确；
故选：C．

点评 本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．