Question

12．已知a∈R，函数f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若a＞0，不等式f（x）＜log₂（x+$\frac{a+1}{x}$）恒成立，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由log₂（$\frac{1}{x}+1）$＜0，得0＜$\frac{1}{x}+1$＜1，解得即可；
（2）先满足定义域$\frac{1}{x}+a＞0$，x+$\frac{a+1}{x}$＞0，再根据条件$\frac{1}{x}+a＜x+\frac{a+1}{x}$，即a$＜x+\frac{a}{x}$，
（3）分类讨论，分a=4，a=3，a≠3且a≠4进行分析．

解答 解：（1）由log₂（$\frac{1}{x}+1）$＜0，得0＜$\frac{1}{x}+1$＜1，
解得x∈（-∞，-1）．
（2）由题意知$\frac{1}{x}+a＞0$，x+$\frac{a+1}{x}$＞0，得x∈（0，+∞），
又由题意可得$\frac{1}{x}+a＜x+\frac{a+1}{x}$，即a$＜x+\frac{a}{x}$，
又a，x∈（0，+∞），∴a$＜2\sqrt{a}$，即0＜a＜4．
（3）$\frac{1}{x}+a$=（a-4）x+2a-5，（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
当a=4时，x=-1，经检验，满足题意；
当a=3时，x₁+x₂=-1，经检验，满足题意；
当a≠3且a≠4时，${x}_{1}=\frac{1}{a-4}$，x₂=-1，x₁=x₂，
x₁是原方程的解当且仅当$\frac{1}{{x}_{1}}+a$＞0，即a＞2；
x₂是原方程的解当且仅当$\frac{1}{{x}_{2}}+a$＞0，即a＞1．
于是满足题意的a∈1，2]．
综上，a的取值范围为（1，2]∪{3，4}．

点评 本题主要考查复合函数的性质，属于中等题．