Question

已知函数f(x)=1-2sin2(x-

π

4

)，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上是否为增函数？并说明理由．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=sin2x，从而可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，当k=0时，知f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增，从而得解．

解答： 解：（本小题满分13分）
（Ⅰ）因为f(x)=1-2sin2(x-

π

4

)=cos2(x-

π

4

)…（3分）=sin2x，…（5分）
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）结论：函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上是增函数．…（9分）
理由如下：
由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z）．…（12分）
当k=0时，知f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增，
所以函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上是增函数．…（13分）

点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．