Question

设椭圆M：的离心率为，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为．
（I）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点C为（-a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为y=kx-4，且，试求直线BE的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=，得a=b，由点A（a，0），B（0，-b），知直线AB的方程为，由此能求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）由A、B的坐标依次为（2，0）、（0，-），直线PA经过点A（2，0），即得直线PA的方程为y=2x-4，因为，所以，由此能求出直线BE的方程．
解答：解：（I）由==1-=，
得a=b，
由点A（a，0），B（0，-b），
知直线AB的方程为，
于是可得直线AB的方程为x-y-b=0，
因此==，
解得b=，b²=2，a²=4，
∴椭圆M的方程为．
（Ⅱ）由（I）知A、B的坐标依次为（2，0）、（0，-），
∵直线PA经过点A（2，0），
∴0=2k-4，得k=2，
即得直线PA的方程为y=2x-4，
因为，
所以k_CP•k_BE=-1，即，
设P的坐标为（x，y），
由
，得P（），
则，∴k_BE=4，
又点B的坐标为（0，-），
因此直线BE的方程为y=4x-．
点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．