Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且满足a_n+S_n=2n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{2{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{2^2}{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）再写一式，两式相减得2a_n-a_n-1=2，整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$，即${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，数列{a_n-2}是首项为${a_1}-2=-\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法，即可证明结论．

解答 （1）解：∵a_n+S_n=2n+1，令n=1，得2a₁=3，${a_1}=\frac{3}{2}$． （2分）
∵a_n+S_n=2n+1，∴a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，（n≥2，n∈N^*）
两式相减，得2a_n-a_n-1=2，整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$（4分）${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，（n≥2）
∴数列{a_n-2}是首项为${a_1}-2=-\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列
∴${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$． （6分）
（2）证明：∵$\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{2^n}•\frac{{{2^{n+1}}-1}}{2^n}•\frac{{{2^{n+2}}-1}}{{{2^{n+1}}}}}}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{（{2^{n+1}}-1）（{2^{n+2}}-1）}}=\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}$（8分）
∴$\frac{1}{{2{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{2^2}{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}$=$（\frac{1}{{{2^2}-1}}-\frac{1}{{{2^3}-1}}）+（\frac{1}{{{2^3}-1}}-\frac{1}{{{2^4}-1}}）+…+（\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{{2^{n+2}}-1}}＜\frac{1}{3}$． （12分）

点评 本题考查等比数列的判断，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．