Question

5．已知抛物线C：x²=8y，过点M（0，t）（t＜0）可作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，则△MAB的面积为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 16

Answer 1

分析 利用切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，求出A，B的坐标，根据导数的几何意义求出t的值，问题得以解决．

解答 解：抛物线C：x²=8y的焦点坐标为（0，2），
∵抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好过抛物线C的焦点，
∴x²=8×2，
解得x=±4，
∴x_B=-4，x_A=4，
∴A（4，2），B（-4，2），
∵y=$\frac{1}{8}$x²，
∴y′=$\frac{1}{4}$x，
∴k_AM=$\frac{1}{4}$×4=1=$\frac{2-t}{4-0}$，
解得t=-2，
∴|AB|=4+4=8，△MAB的高等于2-（-2）=4，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
（求出直线的斜率也可以这样求：设直线AM的方程为y-2=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=8y}\\{y-2=k（x-4）}\end{array}\right.$得到x²-8kx+8（4k+2）=0，
∴△=64k²-32（4k-2）=0，
解得k=1，
继而求出y-2=x-4，
得到t=-2，然后再求出面积）
故选：D．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．