Question

4．已知数列{a_n}，{b_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{4{a_n}}}$，${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，其中n∈N₊．
（I）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设${c_n}=\frac{{4{a_n}}}{n+1}$，求数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）作差利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2}{{2{a_{n+1}}-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}$=$\frac{2}{{2（1-\frac{1}{{4{a_n}}}）-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}$
=$\frac{{4{a_n}}}{{2{a_n}-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}=2$，
∴数列{b_n}是公差为2的等差数列，
又${b_1}=\frac{2}{{2{a_1}-1}}=2$，∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
∴$2n=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，解得${a_n}=\frac{n+1}{2n}$．         …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${c_n}=\frac{{4×\frac{n+1}{2n}}}{n+1}=\frac{2}{n}$，
∴${c_n}{c_{n+2}}=\frac{2}{n}×\frac{2}{n+2}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{c_nc_n+2}的前n项和为${T_n}=2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$2[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}]=3-\frac{4n+6}{（n+1）（n+2）}$．…（12分）

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．