Question

F₁，F₂为椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左右焦点，l是它的一条准线，点P在l上，则∠F₁PF₂的最大值为

 

．

Answer 1

分析：椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的准线方程：x=-2

2

，设P（-2

2

，y₀），y₀≠0设直线PF₁的斜率k₁=-

y0

2

，直线PF₂的斜率k₂=-

y0

3 2

，由题设知∠F1PF为锐角．由此能导出∠F₁PF₂的最大值．

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的准线方程：x=-2

2

，
设P（-2

2

，y₀），y₀≠0设直线PF₁的斜率k₁=-

y0

2

，直线PF₂的斜率k₂=-

y0

3 2

，
∵0＜∠F1PF2＜∠PF1M＜

π

2

，∴∠F₁PF₂为锐角．
tan∠F₁PF₂=|

k1-k2

1+k1k2

|=|

2 2 y0

6+y0

|=

2 2

|y0|+ 6 |y0|

≤

3

3

，
当 |y0|=

3

，即 y0=±

3

时，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此时∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值为

π

6

．
故答案为：

π

6

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．