Question

4．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b²+c²-a²=-bc．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，cos（A-C）+cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．
（2）由已知及三角函数恒等变换的应用可得sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，进而可求sinC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，$\frac{π}{3}$），可得C的值，可求B=$\frac{π}{6}$，由正弦定理解得c，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=-bc．
∴由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由题意得cos（A-C）-cos（A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
又∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，解得c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．