Question

8．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （2，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答 解：由题意过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4，若这样的直线有且仅有两条，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{a}$＜|AB|=4，并且2a＞4，解得a＞2，或$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{a}$＞|AB|=4，并且2a＜4，解得0＜a$＜\frac{1}{2}$，
综合可得，有2条直线符合条件时，a∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．