Question

10．已知函数f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当x∈（1，2）∪（2，+∞）时，f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，利用导数，求函数的导数，然后，判断函数的单调性进行求解，
（Ⅱ）当x∈（1，2）∪（2，+∞）时，f（x）＞2等价于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，也就是证$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{-2ln（x-1）+x-\frac{x}{x-1}}{（x-2）^{2}}$
设h（x）=-2ln（x-1）+x-$\frac{x}{x-1}$，
则h′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+4}{（x-1）^{2}}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）是增函数，又h（2）=0，
∴当x∈（1，2）时，h（x）＜0，
则f′（x）＜0，f（x）是单调递减函数；
当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
则f′（x）＞0，f（x）是单调递增函数．
综上知：f（x）在（1，2）单调递减函数，f（x）在（2，+∞）单调递增函数．
（Ⅱ）当x∈（1，2）∪（2，+∞）时，f（x）＞2等价于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，
也就是证$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0                          
设G（x）=ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2，G′（x）=$\frac{（x-2）^{2}}{（x-1）{x}^{2}}$≥0          
∴G（x） 在（1，+∞）单调递增函数，又G（2）=0
∴当x∈（1，2）时，G（x）＜0，
则$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
当x∈（2，+∞）时，G（x）＞0，
则 $\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
综上可得：当x∈（1，2）∪（2，+∞）时，f（x）＞2．

点评 本题重点考查函数的单调性与导数，求导法则、求导公式及其运用，属于中档题，难度中等．