Question

18．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的取值范围（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，则y是关于t的二次函数，根据x的范围得出t的范围，利用二次函数性质推出y的最小值．

解答 解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$t+\frac{{t}^{2}-1}{2}=\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（t+1）^{2}-1$，
∵x是三角形的最小内角，∴x∈（0，$\frac{π}{3}$]，
则t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，
则t∈（1，$\sqrt{2}$]，
则y∈（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．