Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点$M（0，\frac{1}{2}）$的距离与到直线y=-$\frac{1}{2}$的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0，过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．
（Ⅲ）在曲线C上有A、B两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，过原点做直线AB的垂线与直线AB交于M，写出点M的轨迹方程（不要求写出计算过程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的定义可知：设抛物线方程为x²=2py，$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，则p=1，即可求得曲线C的方程；
（Ⅱ）利用直线的斜率公式求得${k}_{{A′}_{1}{A′}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，当y=0，则$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，将x₁=6，x₂=2，代入求得x₃的值，代入即可求得x₄的值；
（Ⅲ）将直线AB的方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得直线AB恒过点N（0，2），由圆的性质，即可求得点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）因为曲线C上任意一点到点M（0，$\frac{1}{2}$）的距离与到直线y=-$\frac{1}{2}$的距离相等，
根据抛物线定义知，曲线C是以点M（0，$\frac{1}{2}$）为焦点，直线y=-$\frac{1}{2}$为准线的抛物线，
设抛物线方程为x²=2py，可得$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：p=1，
故抛物线方程为x²=2y，
曲线C的方程x²=2y； …（4分）
（Ⅱ）由题意，得A₁′（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），A₂′（x ₂，$\frac{1}{2}$x₂²），
则${k}_{{A′}_{1}{A′}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（x ₁+x ₂），
故直线A₁A₂方程为：y-$\frac{1}{2}$x₁²=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）（x-x₂）． …（6分）
令y=0，得$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，即$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，…（8分）
∵x₁=6，x₂=2，∴$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，
则x₃=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{1}{{x}_{4}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$…（9分）
于是求得x₄的值为$\frac{6}{7}$
（Ⅲ）设直线l的方程为y=ky+b，（b≠0）则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，
可得x²-2ky-2b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=b²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
∴b=2，则直线AB恒过点 N（0，2）
∵OM⊥AB，
∴∠OMN=90°，
∴点M的轨迹是以ON为直径的圆，圆心（1，0），半径为1．
其方程为：x²+y²-2x=0，
点M的轨迹方程x²+y²-2x=0．

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．