Question

已知点为平面直角坐标系中的点，点为线段的中点，当变化时，点形成的轨迹∏.

（1）求点的轨迹∏的方程；

（2）设点的坐标为，是否存在直线交点的轨迹∏于两点，且使点为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，再利用消元法得到轨迹方程；（2）设直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用垂直的数量积为0进行求解.

试题解析：（1）设,因为点为的中点，

则（），消去得到点的轨迹方程为； （5分）

（2）假设存在直线交椭圆于，两点，设，

因为为△的垂心，点，

故．于是设直线的方程为，

由得．

由，得， 且,．

由题意应有，又，

故，得,

即,

整理得,

解得或．

经检验，当时，△不存在，故舍去,

当时，满足，所求直线存在，的方程为． （12分）.

考点：1.点的轨迹方程；2.直线与椭圆的位置关系.