题目内容
14．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC．（1）若sinB=$\sqrt{2}$cosC，求tanC的值；
（2）若a=2，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b＞c，求b，c的值．
分析 已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理求出cosA的值，进而求出sinA的值，
（1）已知等式左边sinB换为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanC的值即可；
（2）由cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的方程，再利用三角形面积公式列出关于b与c的方程，联立求出b与c的值即可．
解答 解：△ABC中，∵3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC，
∴3（b2+c2）=3a2+2bc，即cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
（1）由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosC+$\frac{1}{3}$sinC=$\sqrt{2}$cosC，整理得：sinC=$\sqrt{2}$cosC，
则tanC=$\sqrt{2}$；
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，∴由余弦定理得：4=b2+c2-$\frac{2}{3}$bc①，
由三角形面积公式及已知面积S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到$\frac{1}{2}$bc•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
联立①②，且b＞c，解得：b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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