题目内容

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

分析 （Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的转化求出C的普通方程，求出l的倾斜角即可；
（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆中，得到关于t的方程，根据韦达定理求出|PA|•|PB|的值即可．

解答 解：（Ⅰ）消去θ得到椭圆C的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
直线l的斜率为$\sqrt{3}$，∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得$\frac{{{{（1+\frac{1}{2}t）}^2}}}{4}+{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=1$，
即$\frac{13}{4}{t^2}+（1+8\sqrt{3}）t+13=0$．
∴t1•t2=4，即|PA|•|PB|=4．

点评 本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．

练习册系列答案
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000  011  010  001  111  011  100  000  101  101
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