Question

7．已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当t＞0时，若f（x）在区间[-1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分段函数的表达式，结合一元二次函数的性质即可求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论t的范围，结合一元二次函数的性质求出函数的最值进行求解即可．

解答 （Ⅰ）解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-tx，x≥0\\-{x^2}+tx，x＜0\end{array}\right.$，…（1分）
当t＞0时，f（x）的单调增区间为$[\frac{t}{2}，+∞），（-∞，0）$，单调减区间为[0，$\frac{t}{2}$]…（3分）
当t=0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）…（4分）
当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），$（-∞，\frac{t}{2}]$，单调减区间为$[\frac{t}{2}，0）$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t＞0时f（x）在（-∞，0）上递增，在$（0，\frac{t}{2}）$上递减，在$（\frac{t}{2}，+∞）$上递增
从而    当$\frac{t}{2}≥2$即t≥4时，M（t）=f（0）=0，…（7分），
m（t）=min{f（-1），f（2）}=min{-1-t，4-2t}…（8分）
所以，当4≤t≤5时，m（t）=-1-t，
故M（t）-m（t）=1+t≥5…（9分）
当t＞5时，m（t）=4-2t，故M（t）-m（t）=2t-4＞6…（10分）
当$\frac{t}{2}$＜2≤t，即2≤t＜4时，M（t）=f（0）=0，m（t）=min{f（-1），f（$\frac{t}{2}$）}=min{-1-t，-$\frac{{t}^{2}}{4}$}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=t+1≥3…（12分）
当0＜t＜2时，M（t）=f（2）=4-2t…（13分）
m（t）=min{f（-1），f（$\frac{t}{2}$）}=min{-1-t，-$\frac{{t}^{2}}{4}$}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=5-t＞3…（14分）
综上所述，当t=2时，M（t）-m（t）取得最小值为3．…（15分）

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据条件将函数转化为分段函数形式，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．