Question

6．已知F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF₂⊥x轴，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{16}{a^2}$．直线l经过F₁，与椭圆E交于A，B两点，F₂与A，B两点构成△ABF₂．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设△F₁PF₂的周长为$2+\sqrt{3}$，求△ABF₂的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出两焦点的坐标，由x=c代入椭圆方程，可得P的坐标，求得向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；
（2）运用椭圆的定义，结合离心率，可得a，b，进而得到椭圆方程，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得三角形ABF₂的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可得F₁（-c，0），F₂（c，0），
设点P在第一象限，令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则$P（c，\frac{b^2}{a}）$，$\overrightarrow{P{F_1}}=（-2c，-\frac{b^2}{a}）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（0，-\frac{b^2}{a}）$，
可得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{b^4}{a^2}=\frac{1}{16}{a^2}$，
则a²=4b²=4（a²-c²），可得3a²=4c²，即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可得2c=$\sqrt{3}$a，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
△F₁PF₂的周长为2a+2c=$2+\sqrt{3}$，
解得a=1，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
可得椭圆方程为x²+4y²=1，
由题知直线斜率不为0，设直线方程为$x=ty-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{x^2}+4{y^2}=1\end{array}\right.$，得$4（{t^2}+4）{y^2}-4\sqrt{3}ty-1=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有${y_1}+{y_2}=\frac{{\sqrt{3}t}}{{{t^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{1}{{4（{t^2}+4）}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{3{t}^{2}}{（4+{t}^{2}）^{2}}+\frac{1}{4+{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4（1+{t}^{2}）}{（4+{t}^{2}）^{2}}}$，
则${S_{△AB{F_2}}}=c|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{3}\sqrt{\frac{{{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+4）}^2}}}}$=$\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{{（{t^2}+1）+\frac{9}{{{t^2}+1}}+6}}}$$≤\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{1}{2}$，
“=”成立时t²=2，即t=±$\sqrt{2}$，
则△ABF₂的面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和椭圆的基本量的关系，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．