Question

4．已知tanα、tanβ是方程${x^2}-3\sqrt{3}x+4=0$的两根，并且α、$β∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}}）$，则α+β的值是$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 利用韦达定理 tanα+tanβ 和tanα•tanβ的值，再利用两角和差的正切公式求得 tan（α+β）的值，再结合α+β的范围，求得α+β的值．

解答 解：tanα、tanβ是方程${x^2}-3\sqrt{3}x+4=0$的两根，并且α、$β∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}}）$，
∴tanα+tanβ=3$\sqrt{3}$，tanα•tanβ=4，α+β∈（π，3π）．
∴tanα、tanβ均大于零，故α、β∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴α+β∈（2π，3π）．
∵tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1-4}$=-$\sqrt{3}$，∴α+β=2π+$\frac{2π}{3}$=$\frac{8π}{3}$，
故答案为：$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查韦达定理，两角和差的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．