Question

直线

2

ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A、B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值为（　　）

• A、0
• B、

  2

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由△AOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出|AB|的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出|OC|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的|OC|的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为f（b），可得此函数为开口向上，且对称轴为x=2的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
过O作OC⊥AB，因为△AOB为等腰直角三角形，所以O为弦AB的中点，
又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得：|AB|=

2

，
∴|OC|=

1

2

|AB|=

2

2

，
∴圆心到直线的距离为

1

2a2+b2

=

2

2

，即2a²+b²=2，即a²=-

1

2

b²+1，
∴-

2

≤b≤

2

，
则点P（a，b）与点（0，1）之间距离d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

1 2 b2-2b+2

，
设f（b）=

1

2

b²-2b+2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，
∴当-

2

≤b≤

2

＜2时，函数为减函数，
∵f（

2

）=3-2

2

，
∴d的最小值为

3-2 2

=

( 2 -1)2

=

2

-1．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数f（b）为减函数是解本题的关键．