Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的顶点到直线l₁：y=x的距离分别为$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求C₁的标准方程；
（2）设平行于l₁的直线l交C₁与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为$\sqrt{2}$，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x²+4y²=4，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．

解答 解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为$\sqrt{2}$，
可得$\frac{a}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即a=2，
又顶点（0，b）到直线y=x的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{b}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即b=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），
代入椭圆方程x²+4y²=4，可得5x²+8tx+4t²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有△=64t²-20（4t²-4）＞0，解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，且t≠0，
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x₁x₂+t²+t（x₁+x₂）=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$+t²-$\frac{8{t}^{2}}{5}$=$\frac{{t}^{2}-4}{5}$，
以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
即为$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$+$\frac{{t}^{2}-4}{5}$=0，
解得t=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，满足-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，且t≠0，
则直线l的方程为y=x±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．