题目内容
3．九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则（ ）天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）| A． | 2.2 | B． | 2.4 | C． | 2.6 | D． | 2.8 |
分析 设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．
解答 解：设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An=$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，Bn=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
由题意可得：$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，化为：2n+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故选：C
点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | B． | $\frac{7\sqrt{3}}{6}$ | C． | $\frac{\sqrt{21}}{3}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{7\sqrt{3}}{6}$ |