Question

2．已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．
（1）求证：O，A，P，B四点共圆；
（2）求证：PB²=2AD•DH．

Answer 1

分析 （1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；
（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可证明：PB²=2AD•DH．

解答 证明：（1）连接OA，OB，
∵PA，PB为圆O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO+∠PBO=180°，
∴O，A，P，B四点共圆；
（2）由切割线定理可得PA²=PE•PF，
∵PF=2PA，
∴PA²=PE•2PA，
∴PA=2PE，
∴PE=ED=$\frac{1}{2}$PA，
由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，
∴AD•DH=$\frac{1}{2}$PA²，
∵PB=PA，
∴PB²=2AD•DH．

点评 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定，考查切割线定理、相交弦定理的运用，属于中档题．