Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=2x+1-2的图象上.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 设数列{bn}满足:b1=0,bn+1+bn=an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和公式;

(3) 在第(2)问的条件下,若对于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,求实数λ的取值范围.

Answer 1

 (1) 由题意可知,Sn=2n+1-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n;

当n=1时,a1=S1=21+1-2=2也满足上式.

所以an=2n(n∈N*).

(2) 由(1)可知bn+1+bn=2n(n∈N*),即bk+1+bk=2k(k∈N*).

当k=1时,b2+b1=21 ①;

当k=2时,b3+b2=22,所以-b3-b2=-22 ②;

当k=3时,b4+b3=23 ③;

当k=4时,b5+b4=24,所以-b5-b4=-24 ④;

……

当k=n-1时(n为偶数),bn+bn-1=2n-1.

以上n-1个式子相加,得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1===+.

又b1=0,所以,当n为偶数时,bn=+.

同理,当n为奇数时,bn+bn-1=2n-1,所以-bn-bn-1=-2n-1,所以-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1==,

bn=-.

因此,当n为偶数时,数列的前n项和

Tn=b1+b2+…+bn

=+++++…+

=++…+=·

=-;

当n为奇数时,数列的前n项和

Tn=b1+b2+…+bn-1+bn

=++…++

=-

=-.

故数列{bn}的前n项和Tn=

(3) 由(2)可知bn=

①当n为偶数时,===+,所以随n的增大而减小,

从而,当n为偶数时,的最大值是=1.

②当n为奇数时,===-,

所以随n的增大而增大, 且=-<<1.

综上,的最大值是1.

因此,若对于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,只需λ>1,

故实数λ的取值范围是(1,+∞).