Question

2．对任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 设f（x）=|x+1|+|x+3|，由绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，即有f（x）的最小值为2，再由恒成立思想即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，可得a的范围．

解答 解：设f（x）=|x+1|+|x+3|，
由绝对值不等式的性质，可得
|x+1|+|x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，
当且仅当（x+1）（x+3）≤0，即-3≤x≤-1时，取得等号．
则f（x）的最小值为2，
由任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，
即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，
则a≤2．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，由绝对值不等式的性质求得最值，属于中档题．