题目内容

数列{an}的前m项为a1，a2，…，am（m∈N*），若对任意正整数n，有an+m=anq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{an}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列{bn}的前5项为1，1，1，1，2，周期为5，周期公比为3，则数列{bn}前5k+1项的和等于
4•3k-3
4•3k-3
．（k为正整数）
分析：根据已知条件可以理解并把握似周期性等比数列的定义，弄清周期和周期公比的含义，将所求的数列的和问题转化为学过的等比数列求和是解决本题的关键，注意找准他们的联系．
解答：解：把bn的每5项求和的数列设为Cn，也就是说 C1=B1+B2+…+B5，Ck=B5k-4+B5k-3+…+B5k，
因此，求bn前5k项之和就是求Cn前k项之和．
由于bn是周期为5的似周期性等比数列，所以
Bn+5
Bn
=3，
所以
Cn+1
Cn
=3．
由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+…+ck=3×3k-3．
这就是数列bn前5k项之和，最后就是加上b5k+1这一项，由于b5k+1=b1×3k=3k．
因此，数列bn前5k+1项和就是3×3k-3+3k=4•3k-3．
故答案为：4•3k-3．
点评：本小题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R)．
（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=
1
2
；
（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；
（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1=
1
3
，bn+1=
b
2
n
+bn，设Tn=
1
b1+1
+
1
b2+1
+…+
1
bn+1
，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，Sm＜Tn恒成立，试求m的最大值．
已知函数f(x)=
1
4x+2
（x∈R）．
（1）已知点(1，
1
6
)在f（x）的图象上，判断其关于点(
1
2
，
1
4
)对称的点是否仍在f（x）的图象上；
（2）求证：函数f（x）的图象关于点(
1
2
，
1
4
)对称；
（3）若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)（m∈N*，n=1，2，…，m），求数列{an}的前m项和Sm．
数列An的前m项为A1，A2，…，Am，若对任意正整数n，有A（n+m）=An•q（其中q为常数，q不等于0，1），则称数列An是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列Bn的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列Bn前7k+1项的和
 
．（k为正整数）．
已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值； 
（2）若数列{an}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N*），n=1，2…m），求数列{an}的前m项和Sm； 
（3）在（2）的条件下，若m∈N*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．
（文）已知以a为首项的数列{an}满足：an+1=
an-3，an＞3
2an，an≤3.

（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使an+k=an对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若a=
3
2m-1
（m∈N﹡），试求数列{an}的前m项的和sm．

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