Question

5．在平面四边形ABCD中，AD=AB=$\sqrt{2}$，CD=CB=$\sqrt{5}$，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA=1，OC=2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，由此能求出结果．

解答 解：如图，平面四边形ABCD中，
连结AC，BD，交于点O，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
CD=CB=$\sqrt{5}$，且AD⊥AB，
∴BD=$\sqrt{2+2}$=2，AC⊥BD，
∴BO=OD=1，
∴OA=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=1，
OC=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-1}$=2．
将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，
当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，
直线A′C与平面BCD所成角最大，
此时，Rt△OA′C中，OA′=OA=1，OC=2，
∴∠OCA′=30°，
∴A′C与平面BCD所成的最大角为30°．
故选：A．

点评 本题考查直线与平面所成角的最大值的求法，解题要注意等价转化思想和数形结合思想的合理运用．