Question

16．已知直线l：y=x+b，圆C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（a＞0）．
（1）当b=4时，求直线l被圆C所截得的弦长的最大值；
（2）当b=1时，是否存在a，使得l与圆C交于A、B两点，且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1？若存在，求出a值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径，再求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得：L=2$\sqrt{4a-2（2-a）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，最后由二次函数法求解．
（2）当b=1时，假设存在a，使直线l：y=x+1与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，联立方程组消去y得消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1，可得关于a的方程，从而可求a的值，进而检验可知满足条件的a存在．

解答 解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（a＞0），
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2$\sqrt{a}$．
直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=$\frac{|-a-a+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|2-a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2$\sqrt{4a-2（2-a）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$
∵a＞0，∴当a=3时，L的最大值为2$\sqrt{10}$；
（2）当b=1时，假设存在a，使直线l：y=x+1与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
联立直线l：y=x+1，圆C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0，
消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=a²-3a+$\frac{1}{2}$
又∵y₁•y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=a²-3a+$\frac{1}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=2（a²-3a+$\frac{1}{2}$）=1
即：a²-3a=0，解得：a=0或a=3
又∵△=2²-8（2a²-6a+1）＞0，∴a=3
故存在a=3，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1．

点评 本题以直线与圆为载体，考查直线与圆相切，考查向量知识的运用，解题的关键是将向量运算坐标化，从而建立方程，应注意方程判别式的验证．