Question

判断下列函数奇偶性（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；（2）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（3）f(x)=

x2+x  ，(x＜0) -x2+x  ，(x＞0)

；         （4）f(x)=

1-cosx+sinx

1+cosx+sinx

；
（5）f(x)=

x

ax-1

+

1

2

x（a＞0且a≠1）；            （6）f（x）=

x2(x-1)，x≥0 -x2(x+1)，x＜0

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，函数f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定义域[-1，1），函数的定义域关于原点不对称，（2）由题意可得，函数的定义域[-1，1]，然后检验f（-x）与f（x）的关系
（3）函数的定义域关于原点对称，当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x），当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-（-x）²+（-x）=-x²-x=-f（x），从而可判断
（4）函数的定义域{x|x≠π+2kπ，且x≠

3π

2

+2kπ，k∈Z}，关于原点不对称，则可得
（5）函数的定义域为R，f(-x)=

-x

a-x-1

-

1

2

x=

xax

ax-1

-

1

2

x≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
（6）函数的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，-x＜0，f（-x）=--x²（-x+1）=x²（x-1）=f（x）；当x＜0时，-x＞0，f（-x）=x²（-x-1）=-x²（x+1）=f（x）；当x=0时，f（0）=0，从而可判断

解答：解：（1）由题意可得，函数f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定义域[-1，1），函数的定义域关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数
（2）由题意可得，函数f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

的定义域[-1，1]，
则f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

=

lg(1-x2)

2-x2-2

=

lg(1-x2)

-x2

∴f(-x)=

lg[1-(-x)2]

-(-x)2

=

lg(1-x2)

-x2

=f(x)
∴函数为偶函数
（3）∵函数f(x)=

x2+x，x＜0 -x2+x，x＞0

的定义域关于原点对称
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x）
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-（-x）²+（-x）=-x²-x=-f（x）
综上可得，对任意的实数x，都有f（-x）=-f（x），
所以函数为奇函数
 （4）∵函数f(x)=

1-cosx+sinx

1+cosx+sinx

的定义域{x|x≠π+2kπ，且x≠

3π

2

+2kπ，k∈Z}，关于原点不对称
故函数为非奇非偶函数
（5）f(x)=

x

ax-1

+

1

2

x的定义域为R，
但f(-x)=

-x

a-x-1

-

1

2

x=

xax

ax-1

-

1

2

x≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
故函数为非奇非偶函数
（6）∵f（x）=

x2(x-1)x≥0 -x2(x+1)x＜0

的定义域为R，关于原点对称
当x＞0时，-x＜0，f（-x）=--x²（-x+1）=x²（x-1）=f（x）
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=x²（-x-1）=-x²（x+1）=f（x）
当x=0时，f（0）=0
综上可得，f（-x）=f（x）
故函数为偶函数

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，解题的关键是利用函数奇偶性的定义，先要判断函数的定义域，然后检验f（-x）与f（x）的关系