Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：PQ⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-QB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明PQ⊥底面ABCD即可证明PQ⊥AB；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角P-QB-M的余弦值．

解答 （I）证明：在△PAD中，PA=PD，
∵Q为AD中点．∴PQ⊥AD                             
∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
又AB?平面ABCD，
∴PQ⊥AB；
（II）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵Q为AD中点，BC=QD，BC⊥QD
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∵AD⊥DC      
∴AD⊥QB，
由（I）可知PQ⊥平面ABCD，
∴，以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q-xyz如图．
则Q（0，0，0），A（1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}，0）$，C（-1，$\sqrt{3}$，0）D（-1，0，0）
∵M是PC中点，∴$M（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
又$\overrightarrow{QB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
设平面MBQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1得x=$\sqrt{3}$，y=0，
则$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{QA}$，$\overrightarrow{m}$＞$\frac{\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{QA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由题知，二面角P-QB-M为锐角所以二面角P-QB-M的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理的应用以及二面角的计算，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的平面角的常用方法，综合性较强，运算较大，有一定的难度．