Question

7．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB，AB∥CD，E，F分别是PC，CD的中点，R是PB上一个动点．
（1）求证：无论R在PB上的何处，恒有平面BEF⊥平面RCD；
（2）设PA=λAB，R为靠近P的一个三等分点，若平面DER与平面ABCD所成的角为60°，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）推导出BF⊥DC，DC⊥EB，从而DC⊥平面BEF，由此能证明无论R在PB上的何处，恒有平面BEF⊥平面RCD．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ的值．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB，AB∥CD，E，F分别是PC，CD的中点，
∴AB$\underset{∥}{=}$DF，EB∥PA，∴AD∥BF，
∴EB⊥底面ABCD，BF⊥DC，
∴DC⊥EB，
∵BF∩EB=B，∴DC⊥平面BEF，
∵无论R在PB上的何处，恒有DC?平面RCD，
∴无论R在PB上的何处，恒有平面BEF⊥平面RCD．
解：（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AD=CD=2AB=2，
则P（0，0，λ），B（0，1，0），R（0，$\frac{1}{3}$，$\frac{2λ}{3}$），
C（2，2，0），E（1，1，$\frac{λ}{2}$），D（2，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，$\frac{λ}{2}$），$\overrightarrow{DR}$=（-2，$\frac{1}{3}，\frac{2λ}{3}$），
设平面DER的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+y+\frac{λ}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DR}=-2x+\frac{1}{3}y+\frac{2λ}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{2}$，1，-$\frac{5}{λ}$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DER与平面ABCD所成的角为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{5}{λ}}{\sqrt{\frac{13}{4}+\frac{25}{{λ}^{2}}}}$，
解得λ=$\frac{10\sqrt{39}}{13}$或$λ=-\frac{10\sqrt{39}}{13}$（舍）．
∴实数λ的值为$\frac{10\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．