Question

12．某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如表：

历史      地理	[80，100]	[60，80）	[40，60）
[80，100]	8	m	9
[60，80）	9	n	9
[40，60）	8	15	7

（Ⅰ） 若历史成绩在[80，100]区间的占30%，
（i）求m，n的值；
（ii）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；
（Ⅱ）在地理成绩在[60，80）区间的学生中，已知m≥10，n≥10，求事件“|m-n|≤5”的概率．

Answer 1

分析 （I）（i）由历史成绩在[80，100]区间的占30%，能求出m，进而能求出n．
（ii）由已知分别求出地理和历史的平均成绩及方差，从而得到地理学科的成绩更稳定．
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，利用列举法能求出事件“|m-n|≤5”的概率．

解答 解：（I）（i）∵由历史成绩在[80，100]区间的占30%，
∴$\frac{8+m+9}{100}=0.3$，解得m=13，
∴n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22．（2分）
（ii）由（i）可得

	[80，100]	[60，80）	[40，60）
地理	25	50	25
历史	30	40	30

${\overline x_{地理}}=\frac{90×25+70×50+50×25}{100}=70，S_{地理}^2=\frac{1}{100}[{25×（90-70{）^2}+50×（70-70{）^2}+25×（50-70{）^2}}]=200…（4分）$${\overline x_{历史}}=\frac{90×30+70×40+50×30}{100}=70，S_{历史}^2=\frac{1}{100}[{30×（90-70{）^2}+40×（70-70{）^2}+30×（50-70{）^2}}]=240…（6分）$
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定．（7分）
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，所以满足条件的（m，n）有：
（10，25）、（11，24）、（12，23）、（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）、（25，10）共16中，且每组出现都是等可能的．（9分）
记：“|m-n|≤5”为事件A，则事件A包含的基本事件有：
（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）共6种．（11分）
所以$P（A）=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$（12分）

点评 本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．