Question

12．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P-ABCD的高．

解答 （Ⅰ）证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设正四棱锥P-ABCD的高为h，AE=AD=2，
则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，2），$\overrightarrow{AP}$=（1，-h，1），
$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=z=-1，即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACP的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=x-hy+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=-1，z=-1-h，即$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1-h），
∵二面角C-AF-P的余弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+1+1+h}{\sqrt{3}•\sqrt{2+（h+1）^{2}}}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
得h=1或h=-$\frac{3}{5}$（舍）
则正四棱锥P-ABCD的高h=1．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．