Question

17．设函数f（x）=xlna-x²-a^x（a＞0，a≠1）．
（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=e时，f（x）=xlne-x²-e^x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（-1），最大值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=e时，f（x）=xlne-x²-e^x的导数为f′（x）=1-2x-e^x，
可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1-0-1=0，
切点为（0，-1），即有切线的方程为y=-1；
（2）由存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1成立，
而当x∈[-1，1]时|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，
则只要f（x）_max-f（x）_min≥e-1，
f（x）=xlna-x²-a^x的导数为f′（x）=lna-2x-a^xlna，
又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函数	极大值	减函数

所以f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值f（x）_max=f（0）=-1，
f（x）的最小值f（x）_min为f（-1）和f（1）中的最小值．
因为f（1）-f（-1）=（lna-1-a）-（-lna-1-$\frac{1}{a}$）=2lna-a+$\frac{1}{a}$，
令g（a）=2lna-a+$\frac{1}{a}$，由g′（a）=$\frac{2}{a}$-1-$\frac{1}{{a}^{2}}$=-$\frac{（a-1）^{2}}{{a}^{2}}$＜0，
所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．
而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（-1）；
当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（-1），
所以，当a＞1时，f（0）-f（1）≥e-1，即a-lna≥e-1，
而函数y=a-lna的导数y′=1-$\frac{1}{a}$，
可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；
当0＜a＜1时，f（0）-f（-1）≥e-1，即$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，
函数y=$\frac{1}{a}$+lna的导数为y′=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{a-1}{{a}^{2}}$，
可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤$\frac{1}{e}$．
综上可知，所求a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$]∪[e，+∞）．

点评 本题考查导，属于中档题．数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查存在性问题的解法，注意运用转化为求函数的最值问题，考查化简整理运算能力，属于中档题．