Question

1．已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0，1）的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1，
（1）求出抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程；
（3）求直线l与抛物线相交所得的弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的标准方程为x²=2py，由准线方程是y=-1，可得p=2，即可求此抛物线的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与抛物线的方程可得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理可得直线l的方程；
（3）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l与抛物线相交所得的弦AB的长．

解答 解：（1）据已知抛物线的焦点在y轴正半轴上，所以可设其方程为x²=2py（p＞0）
准线$y=-\frac{p}{2}=-1$，则p=2，所以所求抛物线方程为x²=4y．
（2）直线l过点M（0，1），可设l方程为y=kx+1，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线和抛物线方程得$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，消去y得：x²-4kx-4=0，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=4k}\\{{x_1}{x_2}=-4}\end{array}}\right.$…（1）
又${k_{OA}}=\frac{y_1}{x_1}，{k_{OB}}=\frac{y_2}{x_2}$根据已知k_OA+k_OB=1，即$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$，∴$\frac{{k{x_1}+1}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+1}}{x_2}=1$，
（2k-1）x₁x₂+（x₁+x₂）=0…（2）
将（1）代入（2）得（2k-1）（-4）+4k=0，解得k=1，
所以，直线方程为  y=x+1
（3）据（2）知k=1，则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=4}\\{{x_1}{x_2}=-4}\end{array}}\right.$，
所以，$\begin{array}{l}|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+1}\sqrt{{4^2}-4×（-4）}=8\end{array}$
即抛物线的弦AB长等于8．

点评 本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．