Question

已知抛物线，直线与抛物线交于两点．

（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）联立，消并化简整理得,利用圆与轴相切的位置关系得弦从而确定的值，进而求得该圆的方程；

（Ⅱ）首先根据直线与抛物线的位置关系将弦 的长度和原点到直线的距离均表示为 的函数，并确定的取值范围，从而把的面积也表示为的函数，最后利用函数的最值求出的最大值.

试题解析：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．

依题意应有，解得．

设，则，

设圆心，则应有．

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，

又 ．

所以 ，

解得．

所以，所以圆心为．

故所求圆的方程为．

（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，

又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，

直线：整理得，点到直线的距离 ，

所以． 令，，

，

	＋	0	－
		极大

由上表可得的最大值为 ．所以当时，的面积取得最大值．

考点：1、直线与抛物线的位置关系；导数在研究函数性质中的应用.