Question

19．已知命题p：t²-t-6≤0，命题q：?x∈R，$3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}≤0$．
（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；
（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用命题q的否定即可得出．
（II）利用复合命题的真假，一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）命题q的否定￢q为：$?x∈R，3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}＞0$…（4分）
（Ⅱ）若 p为真命题，则-2≤t≤3
故￢p为真命题时，得t＜-2或t＞3…（7分）
若q为真命题时，即$?x∈R，3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}≤0$成立，
∴$△={（{2t}）^2}-4•3•（{t+\frac{4}{3}}）≥0$，即t²-3t-4≥0，
解得：t≥4或t≤-1…（9分）
∵?p∧q为真命题，
∴命题?p和q都是真命题             …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}t＜-2或t＞3\\ t≥4或t≤-1\end{array}\right.$，
解得：t＜-2或t≥4…（12分）

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．