Question

16．下列命题正确的是⑤
①若函数y=f（x）满足f（x-1）=f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
②在线性回归分析中，相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，且r越接近于1，该组数据的线性相关程度越大；
③在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀＜0”；
⑤由样本数据得到的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$必过样本点的中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．

Answer 1

分析 ①，由f（x+1）=f（x-1），得f（x）=f（x+2），故函数f（x）是周期为2的周期函数，函数f（x）的图象不关于直线x=1对称
②，根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：|r|越接近于1．
③，用平面向量的数量积运算得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，
④，根据全称命题的否定，可判断．
⑤，由样本数据得到的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$必过样本点的中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．

解答 解：对于①，∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x）=f（x+2），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，函数f（x）的图象不关于直线x=1对称，故①错误；
对于②，根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断，|r|越接近于1，故②错；
对于③，在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，以判定两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，
反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，故③错；
对于④，命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”，故④错；
对于⑤，由样本数据得到的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$必过样本点的中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．故⑤正确．
故答案为：⑤

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数的性质、统计、向量等基础知识，属于中档题．