题目内容

20．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），则f（2018）=0．

分析 根据偶函数的定义，结合f（x+4）-f（x）=2f（2），令x=-2，求出f（2）=0，从而函数f（x）是周期为4的函数，f（2018）=f（2），再由偶函数的定义得f（2）=0．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-2）=f（2），
∵对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2，则f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是最小正周期为4的函数，
∴f（2018）=f（4×504+2）=f（2）=0．
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数的周期性及应用，函数的奇偶性的定义和运用，考查解决抽象函数常用的方法：赋值法，正确赋值是解题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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