题目内容
6．已知数列{an}满足：an+1=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{4}{{a}_{n}}$）；（I）若a3=$\frac{41}{20}$，求a1的值；
（Ⅱ）若a1=4，记bn=|an-2|，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜$\frac{8}{3}$．
分析 （1）由数列{an}满足：an+1=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a3=$\frac{41}{20}$，代入可得a2，a1．
（2）由a1=4，an+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；可得an＞2．an+1-an=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，{an}为单调递减数列．进而得到an+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（an-2）$＜\frac{1}{4}$（an-2），
${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，即可得出．
解答 解：（1）∵数列{an}满足：an+1=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a3=$\frac{41}{20}$，
∴$\frac{41}{20}$=$\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{4}{{a}_{2}}）$，解得a2=$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$；…（2分）
当${a_2}=\frac{5}{2}$时，解得a1=1或4…（4分）
当${a_2}=\frac{8}{5}$时，无解．
∴a1=1或4．…（6分）
（2）∵a1=4，an+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；
∴an＞2．
∴an+1-an=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，
∴{an}为单调递减数列．
∴2＜an＜4，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$，
an+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（an-2）$＜\frac{1}{4}$（an-2），
∴${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，
∴Sn=b1+b2+…+bn=（a1-2）+（a2-2）+…+（an-2）≤2+$\frac{2}{4}$+$2×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$2×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2+$\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$$＜\frac{8}{3}$．
点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
