Question

13．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2AP=2CD=2，E是棱PC上一点，且CE=2PE．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）先证BC⊥平面PAC，可得AE⊥BC，再用勾股定理的逆定理证AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PBC．
（2）设AC中点为O，CE中点为M，连DO，OM，DM，由三垂线逆定理知DM⊥PC，∠OMD为二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的大小．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2AP=2CD=2，
∴AC=BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，∴AE⊥BC，
PC=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
∵E是棱PC上一点，且CE=2PE，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PA²-PE²=AC²-CE²，∴AE⊥PC，
∵BC∩PC=C，∴AE⊥平面PBC．（4分）
解：（2）设AC中点为O，CE中点为M，连DO，OM，DM，
则OM∥AE，DO⊥平面PAC，由（1）知AE⊥PC，∴OM⊥PC，
由三垂线逆定理知DM⊥PC，∠OMD为二面角A-PC-D的平面角，
∵$DO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$OM=\frac{1}{2}AE=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$$tan∠OMD=\frac{OD}{OM}=\sqrt{3}$，
∴∠OMD=60°，
∴二面角A-PC-D的大小60°．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．