Question

设函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+m，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）_min=2，求函数f（x）的最大值，并指出x取何值时，函数f（x）取得最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域和最值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+m，
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+m
=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
所以：T=

2π

2

=π．
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以：函数的单调递增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
（2）因为：x∈[-

π

6

，

π

3

]时，
所以：-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
当2x+

π

6

=-

π

6

时，函数的最小值为：-

1

2

+

1

2

+m=2，
解得：m=2，
所以f(x)max=2+

1

2

+1=

7

2

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用三角函数的定义域求函数的值域和最值．属于基础题型．